有趣的几何问题(一)

好久没看过平面几何了,暑假无事重又拾起。从《古今数学思想》上寥寥几笔介绍的经典问题开始吧!

1)九点圆

如上图所示,ΔABC的三边中点、三个垂足、以及三个顶点和垂心连线的中点,九个点共圆。

证明:∠LID=90°,所以LD是圆O的一条直径。而线段LM∥AB,MD∥CK,AB⊥CK,所以LM⊥MD。同理LF⊥FD,LN⊥ND,LE⊥ED。这样九个点中除了其余两个垂足J、K,均在圆O上了。我们可以再以ME为直径证明除K、I以外的点都在圆O’上,由于三点就能确定一个圆,那么圆O,圆O‘必然重合,于是九点共圆。也可以直接证明J在圆O上。这是因为ΔAJH~ΔBJC,∠LJD显然是直角。于是点J在圆O上,同理点K也在圆O上,故九点共圆。证毕。

这个结果是1822年一位高中教师发现的。Feuerbach的定理说,九点圆与内切圆和三个旁切圆均相切。

2)点连线与边成等角

这个问题没有一个通俗的名字

如何在ΔABC中找到一点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCA。

做法很有点技巧,我大概是在初中的时候看到这个结果,到现在都没忘掉。

两个角相等的话毫无难度,问题的困难在于要同时确定三个角,这就必须通过某种关系把它们中的两个联系起来,即,无论如何变化,总有两个角相等,这样就可以放心去变动它们使之与第三个角相等了。

看到∠PAB=∠PBA很容易联想到弦切角等于同弧所对的圆周角。如果做一个圆O与AB切于点A,且过点C,那么对于圆O上的任一点P,∠PAB=∠PCA恒成立。即使这样问题还是有些困难。更巧的地方来了,过点A做边BC的平行线交圆O于点E,连接BE交圆O于点P,内错角相等,∠PBC=∠PEA,而圆内有∠PEA=∠PBA,所以有∠PBC=∠PBA。于是∠PAB=∠PBC=∠PCA。

第一次用GeoGebra画图,很掣肘。不过竟然最后三个角都等于27.62°了,想着多少会有点误差啊,有的地方是手工描点的。。。而且不能保存成JPG,我只好截图了。

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