三角形四心的证明

#2011年 09月 25日 星期日 18:36:39 CST

下午在图书馆看了一本书《虚数的故事》,书看起来很厚,但是由于内容单一,比《古今数学思想》读起来容易多了。

作者可能并不是数学专业的,写得比较通俗,而且,有些地方似乎有点吹嘘和夸大,主观色彩比较浓。有一节是用虚数的运算证明三角形中线交于一点,虽然很简单,但是作者说的是普通的几何方法证明起来很困难,这点我不敢苟同。

于是很快找到了很简单的证法,然后继续考察三角形的其它心,发现都很容易证明,不知道我以前是怎么理解的,证明方法太简单了,似乎根本不必花费什么心思。

条件:三角形ABC,D、E、F分别是a,b,c上的点,依次为中点,垂足,角平分线焦点。
重心:

设BE、CF交于点G1,由于EF//=BC/2,易知EG1:G1B=1:2

设BE、AD交于点G2,同理有EG2:G2B=1:2

所以G1与G2是同一个点,就是重心G

顺便也说明了重心是三条中线的三等分点

垂心:

BE、CF是垂线,焦点是H,连接AH,作HD垂直BC于D,只要证明角AHD=180度。

角AHD=角BHD+角FHB+角AHF

C/D/H/E四点共圆==>角BHD=角C

A/E/H/F四点共圆==>角FHB=角A

B/D/H/F四点共圆==>角AHF=角B

于是角AHD为180度

内心:

跟证明重心的思想是一样的:都是证明另两条线跟第三条线的交点是第三条线上的同一点。还要用到角平分线定理。

BE、CF是角平分线,交点是I1

BI1:I1E=a:CE=a:(ba/(a+c))=(a+c)/b

BE、AD是角平分线,交点是I2

BI2:I2E=c:AE=c:(bc/(a+c))=(a+c)/b

所以I1、I2是同一点

还有外心,就更简单了,设a,b两边的中垂线交于点O,那么OB=OC,OA=OC。于是OA=OB,说明O也在c边的角平分线上。

不知道原来学的证法是怎样的,现在发现证明都不困难。

还在那本书上看到了复数为什么可以用指数表示。关键是时刻记得复数乘法的几何意义(一名测绘员首先发表):辐值相乘,辐角相加。

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