数学和语言——谈思想的表达

在看辛钦的《数学分析八讲》,重要的是思想方法,今天看到积分,课本上根本不会讲如何证明积分的存在性,学完后甚至不能知道积分到底会干嘛,只会拿着公式倒来倒去。在这里我明白了积分和微分之间的关系并不是一开始就那么明显的,而是后来才发现的。有时你说你积出了某个曲线下的面积,其实你并没有定义那个面积,因为这里的面积是通过积分来定义的,你平时的关于面积的概念只是矩形,或者三角形,要推广到曲边图形,就得用到积分。所以应该是你用积分算出了某个极限的值,然后你把它称为面积,而不是你早就知道它的面积只是用积分来算出来。这是很不一样的,平时不会有人这样告诉你。他们都为了方便。
最近看了些数学,对数学新的理解是,它是一门你可以制定许多规则的学科,只要你的规则遵循一定的逻辑,并有固定的模式可以遵循,那么它一定可以不出现矛盾地得到很多其它东西,这些东西即使现在看不到,以后也终究会有用。你所要做的一切,就是挑选哪些命题更适合作为规则。
我们现在学微积分感到并不十分困难,是因为它已经被很好地形式化了,有一套很合理的符号把那些思想隐藏在里面,你用这些符号的时候并不需要每次都把它背后的思想在脑海里过一遍,这也是这些符号的意义所在。但是与发明这些符号的数学家相比,微积分对你来说只是一种工具,而没有起到锻炼思维的效果。想想莱布尼茨,他要洞察到积分过程的某种共性,然后再思考如何将这些思想赋予某种符号系统。这些工作,可以想像,不会是你认为的那么简单。因为你看,牛顿的符号就没有被采用。
既然说到了这里,就索性说一下我通过最近看的书,所理解的语言的重要性。语言最根本的目的是制定一套通用的规则,使不同的实体之间可以有效地交流。比如说,自然语言让人与人之间交流,而计算机语言让人与计算机之间交流(网络协议也可以看作是一类语言,让计算机之间相互交流)。其实,数学也是一类语言,它让你跟神交流。好的数学家,通常都会或多或少地精通一门语言(自然语言,但不是文学性的)。其实柯西刚好就学过古代语言,因此我觉得他能做出很多成就(把极限概念严格化,虽然最终的ε-δ语言不是由他给出的)跟语言的联系是很大的。就像维特根斯坦说过的“我语言的界限就是我世界的界限。”不同的语言,能给你不同的思维方式。其实是你先产生了某种想法,然后试图用语言把它表述出来。而如果语言选择的恰当,它甚至可以帮助你更深层次地理解你的想法。如果你找不到这样的语言,那么,多看看数学,说不定,有一天你就会突然发现一种方法。